数式処理ソフトMaximaを使ってみる

by K.I

2011/12/2

Index

概要
- インストール
- TexMacs
使い方
- 数値計算
- 変数定義
- 代入
- 関数定義
- 方程式の解
いろいろやってみる
- アフィン変換
- 最初に全部クリア
参考

概要

数式の変形をするのが面倒なので、なんか楽する方法ないかな〜と思って探していた。

数式処理ソフトっていうらしいんだけど、フリーではMaximaというのが良いらしい。

ってことで、使ってみたら思ったより簡単に使えるし、もの凄く楽チンだ。

複素数の演算も、ビックリするほど簡単に出来る。

プログラムっていうより、単にソフトの紹介なんだけど。

用語については、一般的な言い方と違う処が多いので、注意。

インストール

SourceForgeの Maximaのページから、Windows版をダウンロードする。

自分はとりあえず、 5.25.1-Windosをダウンロード

普通のWindowのインストーラなので、簡単にインストール出来る。３種類のMaximaがインストールされる。

Command line Maxima →コマンドプロンプトから実行する。Windowsのコマンドプロンプトなので、Cut&Pasteが面倒くさい
XMaxima →これの方が、コマンドプロンプトより使いやすいと思う
wxMaxima →ちょっとグラフィカルに表示される。

基本的には、どれを選んでも同じように使える。

Windowsなら、wxMaximaが式が見やすいけど、これは好みかなぁ。

TexMacs

これはインストールしなくても良いけど、一応

次に、TexMacsのインストール。これは、TeXが表示できるワープロのようなもの

http://www.texmacs.org/の、Downloadをクリック、
さらに TeXmacs-1.99.1-installer.exe のリンクをクリックして、ダウンロードして、インストール

TexMacsを起動したら、挿入→セッション→Maximaで、Maximaのフロントエンドとして使えるようになる

でも、バージョンが違う所為か、Lispのエラーが出る

こちらに、インストールしたバージョンの対応策があったので、

C:\Program Files (x86)\TeXmacs\plugins\maxima\lisp\texmacs-maxima.lispを開いて、以下の様に一箇所変更
```
修正前：(defconstant texport *standard-output*)
        ↓
修正後：(setq texport *standard-output*)
```

これで、綺麗に式が表示されるようになる。

でも、最初の起動がちょっと面倒なので、まぁ、使わなくても良いかな。

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使い方

Maximaの簡単な使い方

wxMaximaの場合、デフォルトではEnterキーで入力じゃなくて、Shift-Enterで入力になっている。

ちょっと、面倒なので編集メニューの設定から、Enterでセルを評価にしておいても良い。

でもEnterで何行か入力してから、Shift-Enterでまとめて評価する方が楽なのかもしれない。

とりあえず、以下はEnterキーで評価されるものとして説明する。

数値計算

普通に数式を入れて、Enterキーを押すと数式が評価される。

式の最後には、必ず';'（セミコロン）を入力すること。

        (%ixx) 1+1;     →で、Enterキーを押すと
        (%oxx) 2                →計算結果が表示される

分数は、基本的に割り算のまま保持されるので、誤差が最小限に抑えられている。

        (%ixx) 1/2+1/3;                 →分数の計算は
        (%oxx) 5/6                              →有理数のまま計算されるので、誤差が抑えられる
        
        (%ixx) float(%);                →少数で表示したい場合は、floatやbfloatを使う
        (%oxx) 0.833333333333333

ちなみに、%というのは直前に評価した式を表す

変数定義

':'（コロン）で、値や式に名前を付けて定義することが出来る。

何故か代入と呼ばれることが多いけど、これは式の定義だと思う。

でも、式と呼ぶと文章的にごっちゃになるし、関数定義が式定義という感じもするので、

とりあえず以降は、これを変数定義と呼ぶ¹ことにする。

これは普通の言語の変数と同じように使える

英文字で始まる名前にする。（大文字と小文字は区別される）

        (%ixx)  A:123;
                        B:456;
                        C:789;
                        A+B*C;

        (%oxx)  123
        (%oxx)  456
        (%oxx)  789
        (%oxx)  359907

定義した変数を使って、式を定義しても良い。

        (%ixx)  ABC:A+B*C+D;
        (%oxx)  D+359907;

定義した時点で、定義されている変数は展開されるが、定義されていない変数はそのまま。

後で、未定義の変数が定義されても、それは展開されないので注意！

あくまで定義した時点で展開されるということ。

動的に展開されるようにしたいなら、関数定義する。

例えばAという変数を削除するには、'remvalue(A);'のように入力する。

全部の変数を削除する場合は、'remvalue(all);'とする。
つまり、allという変数は定義できない。これ以外にも予約された名称は使えないと思う。

代入

変数の中の未定義の変数は、展開されないけど、

substを使えば、あとから代入²が出来る。

        (%ixx)  ABC:A+B*C+D;
        (%oxx)  D + B C + A

        (%ixx)  subst(2,D,ABC);
        (%oxx)  B C + A + 2

sublisでは、複数の変数を同時に代入することも出来る。

        (%ixx)  ABC:A+B*C+D;
        (%oxx)  D + B C + A

        (%ixx)  sublis([A=1,B=2,C=3,D=4],ABC);
        (%oxx)  11

２つ以上の変数を同時に指定する場合、[]で括る。

関数定義

関数は、':='で定義する。

名前の付け方は変数と同様だが、()で引数を指定する。
```
        F(x) := a*x^2 + a*b*x + b^2;
```

引数を、２つ以上指定することも可能。

        f(x,y) := (x^2+x*y)/y;

引数なしで定義することも出来るようだ。

        ABCD() := A+B*C+D;

関数を削除する場合は、'remfunction'を使う。

defineを使って、関数の定義をすることも出来る

        f(x):=diff(sin(x),x);           →これはうまく行かない
        
        define(f(x),diff(sin(x),x));

同じようだが、diffのような関数を含む場合に、普通の関数定義ではうまくいかないが、defineなら出来る

もう１つ、':=='を使ったマクロ定義は、C言語等のマクロ定義と同様のものらしい。

単なる置き換えなので、関数を引数にするような場合に使えるようだ。

方程式の解

Maximaは方程式の解を簡単に求められる。

        (%ixx)  solve(3*x^2+2*x-1,x);
        (%oxx)  [x=1/3,x=-1]

連立方程式の場合

        (%ixx)  solve([x^2+3*y=4,x+2*y=1],[x,y]);
        (%oxx)  [[x=-1,y=1],[x=5/2,y=-3/4]]

2次方程式の解の公式なんかも、簡単に求まる。

        siki2 : a*x^2+b*x+c=0;

        solve(siki2,x);
        [x=-(sqrt(b^2-4*a*c)+b)/(2*a),x=(sqrt(b^2-4*a*c)-b)/(2*a)]

¹あくまで自己流の呼び方。一般的には代入と言われてるみたいだ。
²':'が代入という説明が多いけど、自分的にはsubstの方が代入に思えるので。

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いろいろやってみる

適当にやってるので、間違ってるかも。

アフィン変換

とりあえず、2次元のアフィン変換は、

  x' = ax + by + c
  y' = dx + ey + f

元の３点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)と、変換後の３点(xx1,yy1),(xx2,yy2),(xx3,yy3)の座標から、変換行列を求める。

６つの連立方程式を定義する

af:[xx1=a*x1+b*y1+c,yy1=d*x1+e*y1+f,xx2=a*x2+b*y2+c,yy2=d*x2+e*y2+f,xx3=a*x3+b*y3+c,yy3=d*x3+e*y3+f];

連立方程式を、a,b,c,d,e,fについて解く

solve(af,[a,b,c,d,e,f]);

[[a=(xx1*(y3-y2)-xx2*y3+xx3*y2+(xx2-xx3)*y1)/(x1*(y3-y2)-x2*y3+x3*y2+(x2-x3)*y1),b=(x1*(xx3-xx2)-x2*xx3+x3*xx2+(x2-x3)*xx1)/(x1*(y3-y2)-x2*y3+x3*y2+(x2-x3)*y1),c=-
(x1*(xx3*y2-xx2*y3)+xx1*(x2*y3-x3*y2)+(x3*xx2-x2*xx3)*y1)/(x1*(y3-y2)-x2*y3+x3*y2+(x2-x3)*y1),d=(y2*yy3+y1*(yy2-yy3)-y3*yy2+(y3-y2)*yy1)/(x1*(y3-y2)-x2*y3+x3*y2+(x2-x3)*y1),e=-
(x2*yy3+x1*(yy2-yy3)-x3*yy2+(x3-x2)*yy1)/(x1*(y3-y2)-x2*y3+x3*y2+(x2-x3)*y1),f=(x1*(y3*yy2-y2*yy3)+y1*(x2*yy3-x3*yy2)+(x3*y2-x2*y3)*yy1)/(x1*(y3-y2)-x2*y3+x3*y2+(x2-x3)*y1)]]

こりゃ真面目に解いたら大変だ。。

最初に全部クリア

Maximaで、続けていろいろな式を計算していると、以前の式が残っていて結果がおかしくなることがある

そのため最初に必ず、以前の計算内容を消しておいた方が良い
```
kill(all)$
```
ちなみに、$ は結果を表示しない場合に、; の代わりに使う

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参考

Maxima_Tips

デジタルフィルタを計算する

Maximaを使って、いろんなデジタルフィルタを計算してみた

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