フーリエめも

by K.I

2017/02/08〜

Index

概要
- フーリエ級数
- フーリエ変換
- 離散フーリエ変換（DFT）
- 離散時間フーリエ変換（DTFT）
Maximaでフーリエ級数の実験
- フーリエ級数の式
- パルス波形のフーリエ係数
- N=16でのフーリエ係数
- N=32でのフーリエ係数
Maximaで離散時間フーリエ変換の実験
- 離散時間フーリエ変換の式
- SINC関数
プログラムでフーリエ変換
- パルス波形のDFT
- 周波数領域でデータを加算する
- 周波数領域での矩形パルス
SINC関数のプログラム
- SINC関数のDFT（零点を増やす）
- サンプリング周波数を増やす
- タップ数を増やす
まとめ
- フーリエ変換の関係
- フーリエ変換の波形の関係
- 参考

概要

FFTを使ってはいるものの、フーリエ変換についてはあまり良く分かっていないことも多いので、

基礎から復習の意味で、自分なりにいろいろ確認しながら纏めてみたメモです。

フーリエ変換の公式については、いろいろ流儀があるみたいで、微妙に違っていたりする

とりあえず、デジタル信号処理（基礎編）と、工業数学の基礎のページを主に参考にしましたが、
いろいろ寄せ集めなので、ちぐはぐになっているかもしれません。

Maximaによる実験は、ほとんど工業数学の基礎のページに載っていたものそのまま

フーリエ級数

周期関数x(t)は、その周期T0の整数倍の周期を持つ正弦波の重ね合わせで表すことが出来る

複素係数Ck（複素スペクトル）は離散的であり、その間隔は1/T0となる

フーリエ変換

フーリエ級数の式で、周期が無限大になると、複素スペクトルの間隔はゼロになり連続したものとなる

極限を考えると、連続した周波数スペクトルX(jω)と時間関数x(t)で、以下のような関係となる
```
 →フーリエ変換


 →フーリエ逆変換
```

離散フーリエ変換（DFT）

フーリエ級数を、tで離散化（サンプリング）すると、周波数スペクトルは周期的となる

以下のDFTの式は、離散周期スペクトルXkと離散周期信号xnの関係を表している
```
 →離散フーリエ変換


 →離散逆フーリエ変換
```

実際にフーリエ変換をデジタル信号処理で使う場合は、時間的にも周波数的にも離散値なので

ほとんどは、このDFTを使って計算することになる

離散時間フーリエ変換（DTFT）

フーリエ変換を、tで離散化（サンプリング）すると、周波数は周期的となる

時間関数x(nt)は離散的、周波数スペクトルXsは周期的だが連続している
```
 →時間離散フーリエ変換


 →時間離散逆フーリエ変換
```

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Maximaでフーリエ級数の実験

工業数学の基礎のページで、Maximaによるフーリエ級数の実験が載っていたので、そのままやってみた

こちらで紹介されている特講・工業数学では、 Scilabを使って、いろいろ実験しているらしい。
- Maximaの実験は前ふりで、書籍の方でもっと詳しく解説されているらしいので、ちょっと読んでみたい。

フーリエ級数の式

周期的な波形の場合、周波数は離散的（フーリエ級数）となる

つまり周期信号は、1/Tの整数倍の正弦波の重ね合わせで表すことが出来る

パルス波形のフーリエ係数

時間領域でパルス波形の場合を考える。Maximaでパルス波のデータを作る

本当は連続だけど、仮に8ポイントのデータとする

kill(all)$ N:8$ k:makelist(k-N/2,k,0,N);
T:1$ f0:1/T$ x:1$ a:1/2$

R(t):=if abs(t)<= a/2 then 1 else 0$
wxplot2d(R(t),[t,-T/2,T/2],[y,-0.2,1.2],[xlabel,"t"],[ylabel,"Amplitude"]);

簡略化して、xが1の範囲のみ積分して、Maximaでフーリエ係数を求める

[-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4]

周波数領域ではSINC関数のような形に分布している

j:%i$ omega:2*%pi*f0$
Ck:(1/T)*integrate(x*exp(-j*omega*k*t),t,-a/2,a/2);
wxplot2d([discrete,k/T,realpart(Ck)],[style,[points,2,1,1]],[xlabel,"f[Hz]"],[ylabel,"Ck"]);

- 遇関数の場合、フーリエ係数は実数となる（らしい）

wxplot2d([realpart(Ck.exp(j*omega*k*t)),R(t)],[t,-T/2,T/2],[ylabel,"Amplitude"]);

求めたフーリエ級数（N=8）の周波数を合成して、元のパルス波形と比較してみる

少し近い形になってはいるが、パルス波とは言いにくい

N=16でのフーリエ係数

もう少しサンプル数を増やして、N=16の場合は、

[-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8]

N:16$ k:makelist(k-N/2,k,0,N);
Ck:(1/T)*integrate(x*exp(-j*omega*k*t),t,-a/2,a/2);
wxplot2d([discrete,k/T,realpart(Ck)],[style,[points,2,1,1]],[xlabel,"f[Hz]"],[ylabel,"Ck"]);
wxplot2d([realpart(Ck.exp(j*omega*k*t)),R(t)],[t,-T/2,T/2],[ylabel,"Amplitude"]);

$[0,-\frac{1}{7\,\pi },0,\frac{1}{5\,\pi },0,-\frac{1}{3\,\pi },0,\frac{1}{\pi },\frac{1}{2},\frac{1}{\pi },0,-\frac{1}{3\,\pi },0,\frac{1}{5\,\pi },0,-\frac{1}{7\,\pi },0]$

だんだんパルス波に近くなってきた

N=32でのフーリエ係数

さらにサンプル数を増やして、N=32の場合は、

[-16,-15,-14,-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]

N:32$ k:makelist(k-N/2,k,0,N);
Ck:(1/T)*integrate(x*exp(-j*omega*k*t),t,-a/2,a/2);
wxplot2d([discrete,k/T,realpart(Ck)],[style,[points,2,1,1]],[xlabel,"f[Hz]"],[ylabel,"Ck"]);
wxplot2d([realpart(Ck.exp(j*omega*k*t)),R(t)],[t,-T/2,T/2],[ylabel,"Amplitude"]);

$[0,-\frac{1}{15\,\pi },0,\frac{1}{13\,\pi },0,-\frac{1}{11\,\pi },0,\frac{1}{9\,\pi },0,-\frac{1}{7\,\pi },0,\frac{1}{5\,\pi },0,-\frac{1}{3\,\pi },0,\frac{1}{\pi },$ $\frac{1}{2},\frac{1}{\pi },0,-\frac{1}{3\,\pi },0,\frac{1}{5\,\pi },0,-\frac{1}{7\,\pi },0,\frac{1}{9\,\pi },0,-\frac{1}{11\,\pi },0,\frac{1}{13\,\pi },0,-\frac{1}{15\,\pi },0]$

パルス波形8

かなりパルス波に近い形になった

フーリエ係数の形も、SINC関数に近づいている

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Maximaで離散時間フーリエ変換の実験

これも工業数学の基礎のページの記事そのままだが、Maximaで離散時間フーリエ変換について実験してみる

実のところ、自分は離散時間フーリエ変換（TDFT）っていうものを知らなかったんだけど、
時間領域でサンプリング（離散化）しているので、周波数領域では周期的ではあるが、DFTと違って連続している

離散時間フーリエ変換の式

 →時間離散フーリエ変換


 →時間離散逆フーリエ変換

Maximaで、離散時間フーリエ変換してみる

3/8秒のパルスを用意して、

kill(all)$
x:[0,0,1,1,1,0,0,0];
N:length(x)$ Ts:1/N$ 
n:makelist(n,n,0,N-1); t:Ts*n;
wxplot2d([discrete,n-3,x],[y,-0.2,1.2],[style,[points,2,1,1]]);

離散時間フーリエ変換すると、連続した周波数スペクトルとなる

時間領域でサンプリング（離散化）しているので、周波数領域では周期的になっている
```
Xs:sum(exp(-%i*w*Ts*n)*x[n+1],n,0,N-1);
wxplot2d(abs(Xs),[w,-4*%pi/Ts,4*%pi/Ts]);
```

逆変換すると、ちゃんと元に戻る

xo:expand(Ts*integrate(exp(%i*w*Ts*n)*Xs,w,-%pi/Ts,%pi/Ts)/(2*%pi));

[0,0,1,1,1,0,0,0]

SINC関数

パルス波のフーリエ変換は、SINC関数の形になるということらしい

例えば、3/8秒のパルスのフーリエ変換は、以下のようにSINC関数で表される

a:3/8$ N:8$ Ts:1/N$
wxplot2d([sin(a*w/2)/(w/2)],[w,-10*%pi/Ts,10*%pi/Ts],[y,-0.2,0.5]);

3/8秒のパルスを、離散時間フーリエ変換してみる

前項の場合は、絶対値をとっていたが、今度はそのままプロットする

kill(all)$
x:[0,0,1,1,1,0,0,0];
N:length(x)$ Ts:1/N$ 
n:makelist(n,n,0,N-1); t:Ts*n;
Xs:sum(exp(-%i*w*Ts*(n-3))*x[n+1],n,0,N-1);
wxplot2d(Xs,[w,-4*%pi/Ts,4*%pi/Ts]);

ただの正弦波で、SINC関数にはなっていないようにみえる

DTFTのXsは振幅が1/Tsになっているらしいので、

Tsを掛けて、SINC関数と重ねてプロットしてみる

a:3/8$ 
wxplot2d([sin(a*w/2)/(w/2),realpart(Xs)*Ts],[w,-4*%pi/Ts,4*%pi/Ts],[y,-0.2,0.5]);

周波数が低い範囲で、ちょっと形が似ていることが分かる

パルス波のサンプリング数を増やす

x:[0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0];
N:length(x)$ Ts:1/N$ 
n:makelist(n,n,0,N-1); t:Ts*n;
wxplot2d([discrete,n-N/2+1,x],[y,-0.2,1.2],[style,[points,2,1,1]]);

これを時間離散フーリエ変換すると

ちょっとSINC波形っぽくなってくる

Xs:sum(exp(-%i*w*Ts*(n-N/2+1))*x[n+1],n,0,N-1);
wxplot2d(realpart(Xs),[w,-4*%pi/Ts,4*%pi/Ts]);

SINC波形と較べてみる

a:3/8$
wxplot2d([sin(a*w/2)/(w/2),realpart(Xs)*Ts],[w,-4*%pi/Ts,4*%pi/Ts],[y,-0.2,0.5]);

SINC波形にかなり近い感じになっている

時間離散フーリエ変換は、時間領域でサンプリング（離散化）しているので、周波数領域では周期的なものになる

DFTと違って、時間領域では周期的としないので、周波数領域では連続したデータになる

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プログラムでフーリエ変換

fftwでいろいろ実験や、デジタルフィルタのインパルス応答で作ったプログラムを使って、いろいろ試してみる。

パルス波形のDFT

プログラムで、矩形パルス波形をフーリエ変換したらどうなるかやってみる

擬似インパルスのプログラムの波形を、fftwに通して周波数特性を見る

インパルスといっても、大きさが１で、それ以外は０のデータ（サンプリング周波数128Hz¹）

左側がインパルス波形で、右側がfftwで周波数特性を見たもの

インパルスが１個の場合は、全周波数に一様に分布したものになる

% pulse 128 1 | gp_pulse2 > p128_1w.png
% pulse 128 1 | fftw | gp_fftl > p128_1fft.png

インパルス２個の場合

% pulse 128 2 | gp_pulse2 > p128_2w.png
% pulse 128 2 | fftw | gp_fftl > p128_2fft.png

インパルス３個の場合

% pulse 128 3 | gp_pulse2 > p128_3w.png
% pulse 128 3 | fftw | gp_fftl > p128_3fft.png

インパルス４個の場合

% pulse 128 4 | gp_pulse2 > p128_4w.png
% pulse 128 4 | fftw | gp_fftl > p128_4fft.png

インパルス８個の場合

% pulse 128 8 | gp_pulse2 > p128_8w.png
% pulse 128 8 | fftw | gp_fftl > p128_8fft.png

インパルス16個の場合

% pulse 128 16 | gp_pulse2 > p128_16w.png
% pulse 128 16 | fftw | gp_fftl > p128_16fft.png

fftwの結果から見ても、

時間領域でパルス波形は、周波数領域ではSINC波形になってるのが分かる

DC成分²のみの場合

おまけで、全て１のデータの場合も試してみる

% pulse 128 128 | gp_pulse2 > p128_128w.png
% pulse 128 128 | fftw | gp_fftlx > p128_128fft.png

周波数領域では、0Hzのみのデータとなる

周波数領域でデータを加算する

逆に周波数領域の矩形パルス波形が、時間領域ではどんな波形になるか調べる

擬似ホワイトノイズのプログラムで、周波数領域で短い範囲のデータを作って、合成された波形をみてみる

左側がfftwで周波数を確認したもの、右側が合成された波形（サンプリング周波数は1MHz）

まず、1Hzから順に同じ大きさのデータを加算していく

1Hzのみ³

% white0 1000000 1 | fftw | head -40 | gp_fftl > w1_1fft.png
% white0 1000000 1 | gp_wav2 > w1_1w.png

1〜2Hz

% white0 1000000 2 | fftw | head -40 | gp_fftl > w1_2fft.png
% white0 1000000 2 | gp_wav2 > w1_2w.png

1〜3Hz

% white0 1000000 3 | fftw | head -40 | gp_fftl > w1_3fft.png
% white0 1000000 3 | gp_wav2 > w1_3w.png

1〜4Hz

% white0 1000000 4 | fftw | head -40 | gp_fftl > w1_4fft.png
% white0 1000000 4 | gp_wav2 > w1_4w.png

1〜8Hz

% white0 1000000 8 | fftw | head -40 | gp_fftl > w1_8fft.png
% white0 1000000 8 | gp_wav2 > w1_8w.png

1〜16Hz

% white0 1000000 16 | fftw | head -40 | gp_fftl > w1_16fft.png
% white0 1000000 16 | gp_wav2 > w1_16w.png

1〜100Hz

% white0 1000000 100 | fftw | head -200 | gp_fftl > w1_100fft.png
% white0 1000000 100 | gp_wav2 > w1_100w.png

周波数領域で０Hzから加算していくと、時間領域では段々とインパルス状になっていく

これは、デルタ関数を作っているようなものだと思う

周波数領域での矩形パルス

０Hzからではなく、少し高い周波数から加算して矩形状にしてみよう。

左側がfftwで周波数を確認したもの、右側が合成された波形

100Hzのみ

% white0 1000000 100 100 | fftw | head -120 | tail -25 | gp_fftl > w100_100fft.png
% white0 1000000 100 100 | gp_wav2 > w100_100w.png

100〜101Hz

% white0 1000000 101 100 | fftw | head -120 | tail -25 | gp_fftl > w100_101fft.png
% white0 1000000 101 100 | gp_wav2 > w100_101w.png

100〜102Hz

% white0 1000000 102 100 | fftw | head -120 | tail -25 | gp_fftl > w100_102fft.png
% white0 1000000 102 100 | gp_wav2 > w100_102w.png

100〜103Hz

% white0 1000000 103 100 | fftw | head -120 | tail -25 | gp_fftl > w100_103fft.png
% white0 1000000 103 100 | gp_wav2 > w100_103w.png

100〜107Hz

% white0 1000000 107 100 | fftw | head -120 | tail -25 | gp_fftl > w100_107fft.png
% white0 1000000 107 100 | gp_wav2 > w100_107w.png

100〜115Hz

% white0 1000000 115 100 | fftw | head -120 | tail -25 | gp_fftl > w100_115fft.png
% white0 1000000 115 100 | gp_wav2 > w100_115w.png

周波数領域で矩形状のパルスは、時間領域では振幅的にSINC波形になっている

¹サンプリング周波数を高くすれば、周波数領域でより細かくなるが、敢えてバラに見える程度にした。
²これは電気回路の場合で、一般的な言い方じゃないと思うけど、他の言い方ってあるのかなぁ。
³0Hzのみっていうのを作りたいんだけど、ちょっと無理なので。

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SINC関数のプログラム

逆にSINC波形をフーリエ変換したらどうなるか、やってみる

プログラムは、正規化SINC関数にする。

この方が、xが整数の時、零になるから指定しやすいかなと

SINC関数の零点の数n（片側）と、出力ポイント数tapを指定して、出力する

という感じで考えたんだけど、折角なのでFIRフィルタとして動作するようにした

#include<stdio.h>
#include<math.h>

#define TAP 301
#define N 1000000

double para[N];
double buff[N];

double sinc(double x) {
        
        if (!x) return 1;
        return sin(M_PI*x)/(M_PI*x);

}

int make_para(int tap, int z)
{
        double d;
        int t, n=0;
        
        d = (double)z*2/(tap-1);
        
        for (t=-(tap-1)/2; t<=(tap-1)/2 ;t++) {
          para[n++] = sinc(t*d);
          if (n>=N) break;
        }
        return n;
}

main( int argc, char *argv[] )
{
        int z, tap, s, n, i=0, x;
        double in, out;

        tap = TAP;
        z = 10;
        s = 0;
        
        if (argc>1)
          z = atoi(argv[1]);
        if (argc>2)
          tap = atoi(argv[2]);
        if (argc>3)
          s = atoi(argv[3]);

        if (z<1 || tap<2) return;
        n = make_para(tap,z);

        if (!s) {
                while(fscanf(stdin,"%lf",&in)!=EOF) {
                  buff[i] = in;
                  out = 0;
                  for (x=0; x<n ;x++)
                    out += buff[(x+i+n)%n] * para[x];
                  
                  printf("%lf\n",out);
                  i = (i+1)%n;
                }
        }
        else {
                for (x=0; x<s ;x++)
                  printf("%lf\n",para[x]);
                for (; x<s ;x++)
                  printf("%lf\n",0.0);
        }

}

まぁ、こうしておけば、SINC関数を係数としたフィルタとして動作するし、

インパルス（最初が１で、後は０のデータ）を入れれば、単にSINC関数の値が見られる

でも、実際にやってみたら、サンプリング周波数が大きいときは、畳み込みにとんでもなく時間が掛かるので、

3番目の引数として、サンプリング周波数を指定すれば、単にSINC関数を出力して、残りは零で埋めるように⁴した

SINC関数のDFT（零点を増やす）

例えば、零点が片側10個でタップ301個の時

% sincf 10 301 301 | gp_wav2 > sinc10_301.png
% sincf 10 301 301 | fftw | gp_fftl > sinc10_301fft.png

零点を増やす、零点が片側20個でタップ301個の時

% sincf 20 301 301 | gp_wav2 > sinc20_301.png
% sincf 20 301 301 | fftw | gp_fftl > sinc20_301fft.png

もっと増やす、零点が片側40個でタップ301個の時

% sincf 40 301 301 | gp_wav2 > sinc40_301.png
% sincf 40 301 301 | fftw | gp_fftl > sinc40_301fft.png

さらに増やす、零点が片側80個でタップ301個の時

% sincf 80 301 301 | gp_wav2 > sinc80_301.png
% sincf 80 301 301 | fftw | gp_fftl > sinc80_301fft.png

さらに増やす、零点が片側100個でタップ301個の時

% sincf 100 301 301 | gp_wav2 > sinc100_301.png
% sincf 100 301 301 | fftw | gp_fftl > sinc100_301fft.png

さらに増やす、零点が片側140個でタップ301個の時

% sincf 140 301 301 | gp_wav2 > sinc140_301.png
% sincf 140 301 301 | fftw | gp_fftl > sinc140_301fft.png

さらに増やす、零点が片側149個でタップ301個の時

% sincf 149 301 301 | gp_wav2 > sinc149_301.png
% sincf 149 301 301 | fftw | gp_fftl > sinc149_301fft.png

さらに増やす、零点が片側150個でタップ301個の時

% sincf 150 301 301 | gp_wav2 > sinc150_301.png
% sincf 150 301 301 | fftw | gp_fftl > sinc150_301fft.png

零点が増えるほど、遮断周波数は上がり、サンプリング周波数に対する比率としても、遮断周波数が高くなる

零点がタップ数に近づくとSINC関数とは言えないぐらい崩れているが、それでもフィルタとして働いている

最後は、ただのインパルスになるので、全てパスするようになる

サンプリング周波数を増やす

例えば、零点が片側10個でタップ301個の時

% sincf 10 301 301 | gp_wav2 > sinc10_301.png
% sincf 10 301 301 | fftw | gp_fftl > sinc10_301fft.png

サンプリング数を増やす。零点が片側10個でタップ301個で、サンプリング周波数を302Hzに

% sincf 10 301 302 | gp_wav2 > sinc10_301_302s.png
% sincf 10 301 302 | fftw | gp_fftl > sinc10_301_302sfft.png

サンプリング数を増やす。零点が片側10個でタップ301個で、サンプリング周波数を303Hzに

% sincf 10 301 303 | gp_wav2 > sinc10_301_303s.png
% sincf 10 301 303 | fftw | gp_fftl > sinc10_301_303sfft.png

サンプリング数を増やす。零点が片側10個でタップ301個で、サンプリング周波数を400Hzに

% sincf 10 301 400 | gp_wav2 > sinc10_301_400s.png
% sincf 10 301 400 | fftw | gp_fftl > sinc10_301_400sfft.png

サンプリング数を増やす。零点が片側10個でタップ301個で、サンプリング周波数を1kHzに

% sincf 10 301 1000 | gp_wav2 > sinc10_301_1ks.png
% sincf 10 301 1000 | fftw | gp_fftl > sinc10_301_1ksfft.png

サンプリング数を増やす。零点が片側10個でタップ301個で、サンプリング周波数を10kHzに

% sincf 10 301 10000 | gp_wav2 > sinc10_301_10ks.png
% sincf 10 301 10000 | fftw | gp_fftl > sinc10_301_10ksfft.png

サンプリング数を増やす。零点が片側10個でタップ301個で、サンプリング周波数を100kHzに

% sincf 10 301 100000 | gp_wav2 > sinc10_301_100ks.png
% sincf 10 301 100000 | fftw | gp_fftl > sinc10_301_100ksfft.png

サンプリング数を増やす。零点が片側10個でタップ301個で、サンプリング周波数を1MHzに

% sincf 10 301 1000000 | gp_wav2 > sinc10_301_1Ms.png
% sincf 10 301 1000000 | fftw | gp_fftl > sinc10_301_1Msfft.png

サンプリング周波数を増やしていくと、矩形フィルタとSINCフィルタの合成みたいな周波数特性になる

サンプリング周波数を増やすと、遮断周波数は上がっていくが、

サンプリング周波数に対する比率としては、遮断周波数は変わらない。

タップ数を増やす

零点が片側10個でタップ301個で、サンプリング周波数を1MHz

% sincf 10 301 1000000 | gp_wav2 > sinc10_301_1Ms.png
% sincf 10 301 1000000 | fftw | gp_fftl > sinc10_301_1Msfft.png

零点が片側10個でタップ302個で、サンプリング周波数を1MHz

% sincf 10 302 1000000 | gp_wav2 > sinc10_302_1Ms.png
% sincf 10 302 1000000 | fftw | gp_fftl > sinc10_302_1Msfft.png

零点が片側10個でタップ1000個で、サンプリング周波数を1MHz

% sincf 10 1000 1000000 | gp_wav2 > sinc10_1k_1Ms.png
% sincf 10 1000 1000000 | fftw | gp_fftl > sinc10_1k_1Msfft.png

零点が片側10個でタップ10000個で、サンプリング周波数を1MHz

% sincf 10 10000 1000000 | gp_wav2 > sinc10_10k_1Ms.png
% sincf 10 10000 1000000 | fftw | gp_fftl > sinc10_10k_1Msfft.png

零点が片側10個でタップ100000個で、サンプリング周波数を1MHz

% sincf 10 100000 1000000 | gp_wav2 > sinc10_100k_1Ms.png
% sincf 10 100000 1000000 | fftw | gp_fftl > sinc10_100k_1Msfft.png

零点が片側10個でタップ1000000個で、サンプリング周波数を1MHz

% sincf 10 1000000 1000000 | gp_wav2 > sinc10_1M_1Ms.png
% sincf 10 1000000 1000000 | fftw | gp_fftl > sinc10_1M_1Msfft.png

タップ数を増やしても、遮断周波数は変わらないので、サンプリング周波数に対する比率としては下がっていく

そして、遮断領域の底が深くなっていく。タップを増やすことで、フィルタが鋭くなる感じ

⁴こうすれば、インパルス応答と等価になるので。

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まとめ

というか、特に結論はなくて、

単にフーリエ変換の性質のメモ

フーリエ変換の関係

フーリエ変換では、時間領域と周波数領域で、お互いに対称に影響する関係にある

一方が周期化すればもう一方が離散化、離散化すれば周期化する
逆に周期が広がると、もう一方はポイントが増えていき、周期が無限になれば連続になる
サンプリングポイントが増えれば、周期は広がって極限では周期的ではなくなる

フーリエ変換（FT）を時間領域で周期化すると、

周波数領域では離散化して、フーリエ級数（FS）になる

フーリエ級数（FS）を時間領域で離散化（サンプリング）すると、

周波数領域で周期化して、離散フーリエ変換（DFT）

フーリエ変換（FT）を時間領域で離散化（サンプリング）すると、

周波数領域で周期化して、時間離散フーリエ変換（DTFT）

時間離散フーリエ変換（DTFT）を時間領域で周期化すると、

周波数領域で離散化して、離散フーリエ変換（DFT）

フーリエ変換の波形の関係

フーリエ変換・逆変換の式は、やはり対称な関係なので、

ある波形をフーリエ変換した結果と、同じ波形を逆変換した結果は、基本的に同じになるらしい。例えば、

時間領域で矩形パルス波は、周波数領域ではSINC波形になる

逆に時間領域でSINC波形は、周波数領域では矩形状になる

⇔

時間領域で一定のデータは、周波数領域ではインパルス状になる

逆に時間領域のインパルスは、全周波数に均一に分布するものになる

⇔

参考

デジタル信号処理（基礎編）

デジタル信号処理の基礎的な詳しい解説⁶

工業数学の基礎

Maximaの実験が参考になった。というか、そのままやってみた。
- ここで紹介されている特講・工業数学も、参考になりそう

デジタルデザインノート

フーリエ変換とDFTの関係が参考になった

小野測器

FFTアナライザの記事なんだけど、いろいろ詳しく解説されている

⁵この図は、GoogleChartのGraphVizで描いてるんだけど、日本語をうまくエンコード出来なかった（というより、日本語フォントが無いのかな？）ので、仕方なく怪しい英語になってる。
⁶自分の環境だと、残念ながらJavaがうまく動かなかった。

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